Maturità, riesci a risolvere quiz matematico su Teorema di Rolle?

Teorema di Rolle: scopri con noi come risolvere il quiz matematico venuto fuori alla seconda prova della maturità 2023.

23 Giugno 2023
Giuseppe Guarino

Giuseppe Guarino

Giornalista

Ph(D) in Diritto Comparato e processi di integrazione e attivo nel campo della ricerca, in particolare sulla Storia contemporanea di America Latina e Spagna. Collabora con numerose testate ed è presidente dell'Associazione Culturale "La Biblioteca del Sannio".

Gli esami di maturità 2023 sono attualmente in corso e, alla seconda prova del Liceo Scientifico, la prova di matematica ha gettato nel panico moltissimi studenti per i quiz riguardanti il Teorema di Rolle. Ma in cosa consiste questo Teorema? E come vanno risolti questi quesiti? Andiamo a scoprirlo insieme.

Che cosa dice il Teorema di Rolle?

Andiamo con ordine e partiamo dal principio. Il teorema di Rolle è un importante risultato del calcolo differenziale che stabilisce una condizione necessaria per l’esistenza di almeno un punto nel dominio di una funzione in cui la sua derivata si annulla.

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La formulazione del teorema di Rolle è la seguente: supponiamo di avere una funzione continua f(x) definita nell’intervallo chiuso [a,b] e derivabile in ogni punto dell’intervallo aperto (a,b). Se f(a) = f(b), cioè se i valori della funzione agli estremi dell’intervallo sono uguali, allora esiste almeno un punto c in (a,b) tale che la derivata prima di f nel punto c sia zero, ovvero f′(c) = 0.

Detta in termini più semplici, possiamo dire che il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua su un intervallo chiuso e derivabile in ogni punto all’interno di quell’intervallo, e se i valori della funzione agli estremi dell’intervallo sono uguali, allora c’è almeno un punto all’interno dell’intervallo in cui la derivata si annulla.

Un modo intuitivo per comprendere il teorema è quello di provare ad immaginare una funzione che rappresenta il percorso di un oggetto in movimento. Se l’oggetto parte da un punto e arriva allo stesso livello dopo un certo intervallo di tempo, allora in qualche momento durante il tragitto l’oggetto deve aver avuto velocità zero, cioè si è fermato. Il teorema di Rolle formalizza questa idea per le funzioni matematiche.

Il Teorema di Rolle sulla maturità 2023: il quesito proposto ai maturandi

Il quesito sul Teorema di Rolle della maturità 2023 è una prova piuttosto complicata, che recita così:

Si consideri la funzione:

teorema di rolle maturità 2023

funzione teorema di rolle

  • Determinare per quali valori dei parametri reali a, b la funzione è derivabile.
  • Stabilire se esiste un intervallo di R in cui la funzione f soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Motivare la risposta.

Nella prima parte dell’esercizio occorre studiare la continuità della funzione, calcolandone il limite sinistro e poi il limite destro. Quindi, bisogna studiare la derivabilità della funzione.

Al termine del calcolo, si otterrà che a = 1.

È a questo punto che interviene il teorema di Rolle, che abbiamo illustrato sopra.

Poiché abbiamo identificato i valori dei parametri per cui la funzione è continua e derivabile su tutto R, per tali valori lo sarà sicuramente in ogni intervallo chiuso [a,b], verificando le prime due ipotesi del teorema. Pertanto, dobbiamo chiederci se esistono due valori a e b in cui f(a) = f(b).

Si può quindi osservare che la funzione è sempre strettamente crescente (positiva). Per tale ragione, la funzione non può assumere valori uguali in due punti distinti, e pertanto il teorema di Rolle non può essere applicato.

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